Дело в том, что все слова русского языка распределяются по родам, а не изменяются – как по числам. У каждого слова есть определенный род, который, как правило, остается таковым в течение всей обозримой жизни слова. В некоторых случаях род меняется на другой – лебедь, мозоль. Еще есть слова общего рода – сирота, пьяница, умница. Во всех прочих случаях род либо мужской, либо женский, либо средний. Если он меняется, то мы констатируем: раньше лебедь была она, а теперь он. И это одно и то же слово с другим постоянным родом, что важно.

А слова заусенец и заусеница уникальны тем, что сосуществуют в современном русском языке, являясь не вариантами одного слова (помним, что слова не изменяются по родам), а разными словами с разными родами. И в то же время они все равно обозначают один объект.

Словари указывают на одно различие, которое, впрочем, носителями языка в речевой практике игнорируется. В значении «задравшаяся кожица около ногтя» — обычно ж.р. заусе́ница (в род.п. — нет заусе́ницы, во мн. ч. — заусе́ницы). В значении «острый выступ на поверхности металла» — обычно м.р. заусе́нец (в род.п. — нет заусе́нца, во мн. ч. — заусе́нцы). Якобы последнее используется исключительно в профессиональной речи.

В современном языке это уже не так. Часть носителей языка используют слово заусе́ница, а часть — заусе́нец по отношению к объекту «задравшаяся кожица около ногтя». Правильно использовать оба слова, основываясь на удобстве для себя и собеседника.