Дело в том, что в разных видовых формах различных слов нашей языковой системы такое чередование действительное есть.

Обратите внимание на следующие пары: выпроводить — выпроваживать, выходить — выхаживать. Под ударением корневая о «превращается» в а, и само ударение смещается, что для русской орфоэпии — нормальный процесс.

Естественно, слово с чередованием в корне, который превращается в бал, влияет и на другие однокоренные слова, даже если они видовой пары не представляют. Так и получаются ошибочные формы: боль — обезбаливать, обезбаливающее.

Кстати, не только видовые пары оказывают влияние. В языке множество корней с чередованием, и особенно хорошо знакомы нам еще со школы кос — каса, бер — бира и другие. Естественно, элементы системы влияют друг на друга и вызывают подобные ошибки.

Итак, правильная форма слова — обезболивающее.