Простыня — существительное I склонения, и сегодня оно активно вытесняется существительным III склонения — простынь. Тип склонения изменился за счет того, что изменилось место ударения, а этот процесс, в свою очередь, сократил звуковой состав слова.

Обратите внимание, что определенные тенденции наблюдаются с этими словами в количественно-именных словосочетаниях.

Например, в словосочетаниях с числительным два (две) существуют следующие формы: две простыни́ (литературная форма) / две про́стыни (просторечная форма). В этой конкуренции форм явно побеждает просторечная форма (с ударением на первом слоге) — две про́стыни.

Пять простынь (литературная форма) / пять простыней (просторечная форма). В этой конкуренции форм побеждает вообще третья — пять простыне́й, в которой совмещаются и литературные, и просторечные особенности: ударение — от литературной формы, окончание — от просторечной.

Сейчас происходит замена литературных форм просторечными, но какой тип победит, сказать практически невозможно. В традиционных словарях доминирует указание: простыня (не простынь), но в некоторых словарях, изданных после 2000 года, рассматривается как допустимая в литературном языке форма Р.п. мн.ч. — простыне́й.

Остальные формы слова простынь пока сохраняют просторечную стилистическую окраску.

Итак, литературная норма — простыня. Просторечная форма — простынь. Допустимо: пять простыне́й.