Оба варианта верны, но правильность их употребления зависит от того, какая часть речи требуется для контекста.

Наутро — это наречие, синонимичное наречию «утром». Для проверки можно задавать вопрос «когда?».

«Наутро (когда?) мне перезвонили».

На утро — это сочетание предлога «на» с существительным «утро». Для проверки можно задавать вопрос «что?».

«Встречу назначили на (что? на какое время?) утро».

Также для проверки можно использовать атрибут, какое-нибудь определение для существительного, и проверить, встраивается ли оно в конструкцию. Если да, то перед вами существительное, а если нет — наречие.

«Встречу назначили на (раннее) утро» — встраивается, существительное с предлогом, пишем раздельно «на утро»;

«На (раннее) утро мне перезвонили» — не встраивается, наречие, пишем слитно «наутро».