Люди, которые пишут по-старинке, предполагают, что это сочетание из ряда по-новому, по-осеннему, по-моему. Но это не так.
Через дефис пишутся наречия с приставкой по-, образованные от полных фор прилагательных и от местоимений и оканчивающиеся при этом на -ому/-ему, -ки, -ьи: по-видимому, по-пустому, по-новому.
Сочетание по старинке — это другая закономерность и, следовательно, другое правило.
В два слова, то есть раздельно, пишутся употребленные в наречном значении сочетания существительных с предлогами. То есть по старинке — это не наречие, а именно сочетание существительного с предлогом, употребляющееся лишь в наречном значении.
Все подобные сочетания и с другими предлогами тоже пишутся раздельно: по старинке, на бегу, на весу, от силы, с наскока, до отвала, до отказа, без ведома, без запроса, без обиняков.
Правильно — по старинке.